84. Указать разложение исходной функции в ряд по методу Рунге-Кутта.
Для построения разностной схемы интегрирования воспользуемся разложением функции
dy/dx = f(x,y(x)), 0<x<=T, y(0)=y0 (1)
в ряд Тейлора:
y(xk+1) = y(xk)+y´(xk)h+y´´(xk)h^2/2+...
Заменим вторую производную в этом разложении выражением
y´´(xk) = (y´(xk))´ = f(xk,y(xk)) ≈
[f(x˜,y˜)-f(xk,y(xk))]/Δx
(x˜,y˜) - x y с волнистой чертой наверху)
где x˜=xk+Δx, y˜ =y(xk+Δx)
Причем Δx подбирается из условия достижения наибольшей точности записанного выражения. Для дальнейших выкладок произведем замену величины y˜ разложением в ряд Тейлора:
y˜ = y(xk+Δx) = y(xk)+y´(xk)Δx+...