Самое большое распространение из всех численных методов решения дифференциальных уравнений с помощью ЭВМ получил метод Рунге-Кутта 4-го порядка. В литературе он известен как метод Рунге-Кутта.
Этот метод имеет четвёртый порядок точности, то есть суммарная ошибка на конечном интервале интегрирования имеет порядок O(h4) (ошибка на каждом шаге порядка O(h5)).
Методы Рунге-Кутты - важное семейство численных алгоритмов решения обыкновенных дифференциальных уравнений и их систем. Данные итеративные методы явного и неявного приближённого вычисления были разработаны около 1900 года немецкими математиками К. Рунге и М. В. Куттой.
Формально, методом Рунге — Кутты является модифицированный и исправленный метод Эйлера,
Семейство прямых методов Рунге-Кутты является обобщением метода Рунге — Кутты 4 порядка. Оно задаётся формулами: yn+1=yn + ∑biki, (сумма от i=1 до s) где h - величина шага сетки по x и вычисление нового значения происходит в s этапов:
k1=hf(xn), yn
k2=hf(xn)+c2h, yn + a21k1
...
ks=hf(xn + csh, yn + as1k1 + as2k2 +...+ assks-1)
Для коэффициентов метода Рунге — Кутты должны быть выполнены условия:
∑aij=si для i = 2...s
Если требуется, чтобы метод имел порядок p, то следует так же обеспечить условие
y¯(h+x0) - y(h+x0) = O(hp+1)
где y¯(h+x0) - приближение, полученное по методу Рунге — Кутты. После многократного дифференцирования это условие преобразуется в систему полиномиальных уравнений на коэффициенты метода.