В случае четной функции f(x):
∫f(x)dx = 2∫f(x)dx
(границы 1 интеграла: -π,π а 2-го: 0,π)
Пусть теперь f(x) будет кусочно-дифференцируемая в промежутке [-π,π] четная функция. Тогда произведение f(x)sinx окажется нечетной функцией, и по сказанному:
bn = 1/π ∫f(x)sin(nx)dx = 0
Таким образом, ряд Фурье четной функции содержит одни лишь косинусы:
f(x)= a0/2 + ∑ancos(nx)
(граница ∑ от n=1 до ∞)
Так как f(x)cos(nx) в этом случае будет тоже четной функцией, то, применив сюда второе из сделанных выше замечаний, можем коэффициенты an разложения написать в виде:
an=2/π ∫f(x)cos(nx)dx
(пределы ∫ от 0 до π)