Если заданная в промежутке [-π, π] функция f(x) будет нечетной, то очевидно:
∫f(x)dx = 0
(границы ∫ [-π, π])
Если же функция f(x) будет нечетной, то нечетной будет и функция f(x)cosnx, так что:
an=1/π ∫f(x)cosnx dx = 0, при n=0,1,2...
Мы приходим к заключению, что ряд Фурье нечетной функции содержит одни лишь синусы:
f(x) = ∑bnsin nx
При этом ввиду четности произведения f(x)sin nx можно писать:
bn = 2/π∫f(x)sin nx dx = 0
при n=0,1,2...