51. Как выбирается частота дискретизации (теорема Котельникова)?
Теорема Котельникова (теорема отсчетов) имеет следующею формулировку: если наивысшая частота в спектре функции S(t) меньше, чем fm, то функция S(t) полностью определяется последовательностью своих значений в моменты, отстоящие друг от друга не более чем на 1/2fm секунд.
В соответствии с этой теоремой сигнал S(t), ограниченный по спектру наивысшей частотой wm=2pfm, можно представить рядом:
S(t)=∑S(n/2ƒm)[sinω(t-nl2ƒ)/ω(t-nl2ƒ)]
Этот ряд называется рядом котельникова. В этом выражении 1/2fm = Dt обозначает интервал между двумя отсчетными точками на оси времени, а S(n/2fm) = S(nDt) – выборки функции S(t) в моменты времени t=nDt.
Исходя из (1), теорема Котельникова формулируется так: произвольный сигнал, спектр которого не содержит частот выше fm , может быть полностью восстановлен, если известны отсчетные значения этого сигнала, взятые через равные промежутки Dt = 1/2fm.
Частота дискретизации (или частота сэмплирования) - частота, с которой происходит оцифровка, хранение, обработка или конвертация сигнала из цифры в аналог. Частота дискретизации, согласно Теореме Котельникова, ограничивает максимальную частоту оцифрованного сигнала до половины своей величины.
Чем выше частота дискретизации, тем более качественной будет оцифровка. Как следует из теоремы Котельникова для того чтобы одназначно восстановить исходный сигнал, частота дискретизации должна превышать наибольшую необходимую частоту сигнала в два раза.
Преобразование аналогового сигнала в цифровой состоит из двух этапов:
дискретизации по времени
квантования по амплитуде.
Дискретизация по времени означает, что сигнал представляется рядом отсчетов (сэмплов), взятых через равные промежутки времени. Например, когда мы говорим, что частота дискретизации 44,1 кГц, то это значит, что сигнал измеряется 44 100 раз в течение одной секунды.
Основной вопрос на первом этапе преобразования аналогового сигнала в цифровой (оцифровки) состоит в выборе частоты дискретизации аналогового сигнала. Чем больше частота, тем точнее соответствует цифровой сигнал аналоговому. Однако пропорционально увеличению частоты возрастают:
• Интенсивность потока цифровых данных, а пропускные возможности интерфейсов не безграничны, особенно если записывается/ воспроизводится одновременно несколько каналов;
• Вычислительная нагрузка на цифровые процессоры, а их вычислительные возможности также ограничены;
• Увеличивается необходимой объем памяти, для хранения цифрового сигнала.
Очевидно, что необходим компромисс. От выбора частоты дискретизации зависит частотный диапазон полученного цифрового звука и максимальная частота аналогового сигнала, правильно представлена в цифровом. Считается, что человек слышит частоты в диапазоне от 20 до 20 000 Гц. Согласно известной теореме Найквиста, для того, чтобы аналоговый (непрерывный по времени) сигнал можно было точно восстановить по его отсчетам, частота дискретизации должна быть как минимум вдвое больше максимальной звуковой частоты.
Звуковая частота, равная половине частоты дискретизации, называется частотой Найквиста и является максимальной частотой, которую данная цифровая система может правильно сохранить и воспроизвести. Таким образом, если реальный аналоговый сигнал, который мы собираемся преобразовать в цифровую форму, содержит частотные компоненты от 0 до 20 кГц, то частота дискретизации такого сигнала должна быть не менее 40 кГц. Сегодня самыми распространенными частотами дискретизации являютcя 44,1 кГц (CD) и 48 кГц (DAT).