100. Каким образом можно выбирать границы для оценки моделируемой случайной величины?
Случайная величина — это величина, которая принимает в результате опыта одно из множества значений, причём появление того или иного значения этой величины до её измерения нельзя точно предсказать.
В инженерных задачах доверительную вероятность gназначают в пределах от 0,95 до 0,99. В доверительном утверждении считается, что статистики t0 и t1 являются случайными величинами и изменяются от выборки к выборке. Это означает, что доверительные границы определяются неоднозначно, существует бесконечное количество вариантов их установления.
На практике применяют два варианта задания доверительных границ:
устанавливают симметрично относительно оценки параметра, т.е. t0=q–Еg, t1=q+Еg,
где Еg выбирают так, чтобы выполнялось доверительное утверждение. Следовательно, величина абсолютной погрешности оценивания Еg равна половине доверительного интервала;
устанавливают из условия равенства вероятностей выхода за верхнюю и нижнюю границу Р(Т>q+Е1,g)=Р(Т<q–Е2,g)=a/2.
В общем случае величина Е1,g не равна Е2,g . Для симметричных распределений случайного параметра q в целях минимизации величины интервала значения Е1,g и Е2,g выбирают одинаковыми, следовательно, в таких случаях оба варианта эквивалентны.
Расчет границ доверительного интервала для математического ожидания случайной величины Х, распределенной по нормальному закону при неизвестном среднем квадратическом отклонении, выполняется по следующим этапам:
для выборки, представленной вектором хi, i=1...20, методом максимального правдоподобия рассчитываются несмещенные точечные оценки математического ожидания α˜=x‾=1/n*∑xi (граница суммы: от i=1 до n) и среднего квадратического отклонения σ˜2= 1/(n-1) * ∑(xi-x‾)^2 ;
для определения границ доверительного интервала математического ожидания вводится статистика t, распределенная по закону Стьюдента, рассчитываемая по формуле
α˜=x‾=1/n*∑xi
квадратическое отклонение генеральной совокупности, χ2n-1 - случайная величина распределенная по закону хи-квадрат с (n-1) степенями свободы, n - объем выборки;
примем значение доверительной вероятности Pd=0.99;
расчет квантилей t1, t2 статистики t для вероятностей
a/2 и (1-a/2) и числа степеней свободы (n-1) с помощью обратной функции распределения закона Стьюдента:
F-1n
F-1n(α)=tα,n
Функция F-1nне имеет простого представления. Однако, возможно вычислить её значения численно.
расчет нижней и верхней границ доверительного интервала математического ожидания случайной величины Х по формулам:
MxH=x‾+t1(α/2,n-1)*σ˜/√n
MxB=x‾+t2(α/2,n-1)*σ˜/√n